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怎樣才算是數學對話？

    在本文我運用情境及社會文化的角度來研究數學話語的描述及學生課堂上的對話。運用此例，在傾聽數學課程中學生的對話，我討論如何區分能幫助或會阻礙我們的日常話語及數學話語。

    從每天更多討論數學的方法中區分日常話語及數學話語，可以說明數學學習是有益的。然而，此區分受限只在課堂上使用。首先，學生每天在學校經歷的數學溝通發現，很難用區分去分類學生對談來說明學生的能力。而且，在學習數學當然也牽涉學習更多的數學語言，每天談話的練習不被看見視為學習數學的障礙。學生從校內及校外使用多樣的資源在數學談話中。在我們標示學生日常話語或數學話語，我們需要認真考慮什麼是算或不算在我們數學話語練習的定義中。假如我們假設數學話語只有包含教科書中的定義或在正式數學練習中，我們可能會錯失學生對話的數學能力。

    我們開始用數學記錄簿去表示數學話語的特徵，如Halliday於1978年所定義。

    記錄簿是一組適當特定語言功能的意義，用文字及架構去表達意義。我們可以參考”數學記錄簿”，在意義上的涵義屬於數學語言(那就是使用自然語言的數學，而不是純數學本身)，及假如其語言是運用於表達數學目的的語言。

    Halliday不是提供技術上的辭彙，而是意義、樣式及討論的模式:”我們不是想組成完全專門用語的數學記錄簿，或發展增加新簡單程序的記錄簿。”

Forman在1996年介紹數學對話的語法和客觀性質的特徵 。(句中無主詞或使用客觀的你為主詞)她還介紹了爭論的模式，特別是在數學對話的價值:精確、簡潔及邏輯的一致性。數學課程研究在這兩本記錄簿中提供顯示學習數學的實驗證據 (1987年的Pimm，1995年的Khisty，1996年的Moschkovich) 。這項研究的重點在區分日常話語和數學話語的記錄簿。由於同一措辭或短語有多重意義，學生正在學習使用適當的多重意義來學習數學。例如:單字”集合”和片語”任意數”(指所有的數字”)在數學方面有不同的含義。

    這些多重含義會增加對話的障礙，因為在數學度對話學生經常使用口語上的含義，而老師(或其他學生)可能使用數學意義的措辭。另一個區分日常話語和數學話語記錄簿是相關意義的措辭，如”較陡”和”少陡”和片語如”在Y軸往上移”和”在Y軸往下移”。這些措辭和詞語的意義對日常用途可能夠精確，對數學話語描述線的來龍去脈卻證實是含糊不清的。

學習數學涉及到的部分轉化日常話語成為數學話語更精確的使用語言。研究已經說明了學生語言能更貼近數學記錄簿，變成更精確和反映更多概念性知識。(Moschkovich,1998,1998)學習數學的字義是學習數學很重要的關鍵。相對於日常意義，數學意義記錄簿較為嚴苛，指出在課堂討論中多樣性的意義可能造成誤解的根源。然而，在日常和數學記錄簿之間的關係因在課堂中的溝通而更複雜。首先，數學話語涉及比字面上的含義要更多。其次，日常生活的意義不僅是障礙，也是發展數學能力的資源。最後，正如Forman在1996指出日常話語和數學話語密不可分，在討論中交織在一起。

Forman(1998)Wertsch(1990)建議從個別字義到一般推論練習去”定義特定社會環境演說或對話的種類”(wertsch(1990)。這個調整可以擴大數學溝通表徵超出了某特定詞語和他們的含義的用法。我們可以開始使用對話義涵超過演說或書寫的義涵。Gee(1996)定義對話:：

對話是一種使用語言方法社會接受聯想物，其它象徵性的表達，和思維、感覺、信仰、價值和表演的”人工製品”，可以被用於定義本身為社會意義族群或’社會網絡’，或表示(即一個是扮演)一個有意義的社會角色。

數學對話不僅包括談話、表演、互動、思想、信仰、閱讀、寫作的方法，也包括了數學價值、信仰和觀點。參與數學對話的練習可以被理解，當談到或做數學時，在一般人們說話和做的方式說出和做出數學能力。Gee(1996)，一個摩托車騎士酒吧的例子說明任何對話練習牽涉比技術語言要多。為了看起來或做起來更像是一個屬於摩托車騎士酒吧的人，此人要學會不只一個詞彙。知道腳踏車的配件名稱或型號可能會有所幫助。但顯然是不夠的，在同樣知道技術上的數學專有名詞的清單對數學對話練習是不夠的。

   數學對話有一些普通的特徵嗎？要精確、明確、尋求確定性、抽象、歸納是被高度重視的練習數學以對話族群為目的。歸納為一般數學的陳述方式，如:”任何三角形的內角總合為 180度，””平行線永不相交，”或”a+b始終等於b+a。”雖然歸納是一種有價值的練習，也是重要的主張，但只限於有準確和明確定義的情況。例如，語句”乘法會使數字較大些”可以是真或假，完全決定於對於數字設定主張是：”當乘以小於1的數除外時，乘法會使數字較大些。”

    很多時候主張也試著用圖形、表格或圖表來表達數學。雖然較少考慮，但想像也是一種有價值的數學練習。例如，做數學往往涉及到談話和書寫有關想像的東西—如:無窮大、零、直線◎握不相交的平行線—和可視的形狀、物件和我們眼睛看可能不見的關係。

    數學對話，無論如何，沒有一個單一套的同質慣例。雖然我們可能同意數學對話是合理的對話。(Hoyrup,1994)透過個人、社群、時間、環境和目的而多樣化。對當前對練習的要求數學家的結論是沒有一樣數學可以以一種方式去瞭解數學、思考數學或做數學。(Burton，1999)

    結束採訪數學的研究，我有一個清晰的影像，怎樣可以談論數學把它視為一個東西，數學練習視為不變的和數學家視他們為各自分離的。

　　在不同的社會、文化和歷史中如何做數學練習？數學對話透過不同社群而呈現多樣化，例如研究數學家和統計人員，或小學及中學老師之間。數學對話牽涉到不同的種類，如：代數證明、幾何證明和學校代數應用題。數學爭論可以提出不同的用途，如：令人信服、總結或解釋。數學對話也可以以歷史情境呈現，例如：數學爭論隨著時間變遷兒發生了變化（Hoyrup,1994）。

    什麼是一個好論點於Euclid的科學環境中不同於Hilbert的科學環境。在十七及十八世紀中，對Archimedes什麼都沒有勇於嘗試的啟發是好的且足夠理由。

  　即使數學定義隨著時間的變遷發生了變化。例如，函數的定義從Dirichlet定義為一個實數的關係到Bourbaki定義為兩數的對映關係，透過歷史發生了很大的變化。數學的定義也可以透過不同的文化背景而不同。例如：在西班牙“梯形是非平行四邊形。而美國英語用法梯形是有一雙對邊平行的四邊形”描述卻相對不同。

　　數學對話練習也有著不同的目的。Richards(1991)描述了四種類型的數學話語。研究數學是專業的數學家和科學家所演說的數學。探索數學是有文化修養成人的數學。數學學報強調正式的溝通，是數學語言的出版物和文件。數學練習的型式被視為不同於研究社群的口語討論，因數學發現透過書面正式文本重建故事。最後，他確定學校數學在傳統的數學教室中視為典型的對話，分享其它班級開始實施—回答—值的計算架構到其它學校課程。（Mehan,1979）Richards指出在數學學報在學校使用較研究數學和探究數學普遍。

　　聽學生數學內容的談話

    區分日常話語和數學話語，從單字意義到對話練習是很複雜的。我們也許能夠確定學生使用日常話語或數學話語的詞義，例如：質數、集合、函數、或較陡。然而，更難以區分對話練習屬於一種設定或屬於另外一種，及不可能定義在教室中學生對話練習的原意。學生從多樣的對話練習組成策略。學生從日常話語及數學話語運用策略去做數學溝通。如分析師或老師，我們不能決定學生對話是源自於日常話語或數學話語。在聽到不只一個可以接受的數學版本，且還有多樣化正宗的數學話語，這也是一種挑戰。

    下面的例子說明我們的意見，正宗數學對話練習是否會影響我聽學生參與數學對話。這是從加州城市三年級雙語教室摘錄下來的。學生正在學習二維的幾何圖形。幾個星期以來，指導包括不同四邊形的專有名稱。學生談論有關形狀和要求指出、觸摸及定義不同的實例。在這個課程中，學生描述四邊形用摺或剪紙的方式做出七巧板的形狀。

    課程接近尾聲的時候，全班討論梯形是不是平行四邊形，老師提出以下的問題:

老師說：我們怎麼知道它是梯形？梯形是不是一個平行四邊形，我要你花一分鐘相互討論，寫在表格中，當我叫你時，請告訴我你們小組的決定。它是不是平行四邊形。

在學生討論完此問題之後，隨後全班進行討論如下：

老師說：(對全班同學)好。舉手，我要每組派一人告訴我們小組的想法。(手持一個梯形)這是不是平行四邊形？並告訴我們為什麼？我要從這組開始。

Vincent說：這兩邊平行，而這兩邊沒有平行。

老師說：有多少人同意此點。所以是不是平行四邊形？

學生說：一半。

老師說：好。假如是一半，那它到底是還是不是？

學生說：是。

老師說：我們可以有半個平行四邊形嗎？

學生說：可以。

老師說：可以。那我們可以說它是平行四邊形嗎？

學生說：可以。

標準定義梯形是”有一雙對邊平行的四邊形。” 標準定義平行四邊形是”有兩雙對邊平行的四邊形。”學生回答問題”這是不是平行四邊形？”是”一半”，意味著梯形是半個平行四邊形。

    首先，我們考慮一下”梯形是半個平行四邊形。”對此問題可能是個合理的答案。平行四邊形有兩雙對邊平行而梯形是一雙對邊平行。梯形是半個平行四邊形因為梯形是兩雙對邊平行四邊形的一半。

        兩雙對邊平行                            一雙對邊平行

        平行四邊形                              半個平行四邊形

                     圖一：梯形是半個平行四邊形

如何比較老師和學生的定義？學生們重點在兩圖中是否有兩雙平行線。老師聚焦在兩圖是否屬於同一種或屬於不同兩種。”兩雙對邊平行的圖形”或”一雙對邊平行或無平行的圖形。”
    當”半個平行四邊形” 對學生的是可以接受的說明時，這對老師卻是不能接受。老師的初步問題” 這是不是平行四邊形？並告訴我們為什麼？”假設這是一種情況。老師的角度是二分法：給予的圖形是不是平行四邊形。老師是用平行四邊形正式的字典意義。這個定義很顯然是分成兩種的：不論這圖形是平行四邊形或不是平行四邊形。從此觀點，”半個平行四邊形”對梯形的定義而言是不被接受的。　

我們可能會得到結論，由於老師用的是一本字典的定義，老師的觀點反映了數學話語練習。我們還可以得出結論，因為學生不使用正式的定義，他們的觀點反應出日常話語的練習。但是，有另一種方法可以考慮此兩種觀點。

一個定義必然性正宗數學話語思考較日常話語多或少。那取決於我們如何定義數學練習。假如用字典定義是唯一練習我們想像數學家的參與，及在討論中，老師定義梯形是唯一數學定義。取而代之，假如我們包含”發展做的定義”似一個正宗數學練習，那學生定義也是屬於數學的。

O’Connor(1998)討論定義的不同類型。她包括規定性、實做、字典和正式如不同類別的數學定義。規定性和執行的定義是發展成為互動的一部分或一種探索活動；字典給出的是正式文本。建構分享定義”是一個透露訊息的例子，我們的意思是數學和科學真實智力的練習。”(p.42)

從此觀點的數學練習，學生使用的定義描述實做和規定性的定義。這些學生真實參與活動比學校所用字典上的定義，可能更接近科學家和數學家的練習。

總結

上面的例子指出在教室中複雜的數學交流。學生的話語聽起來是否具有數學性完全取決於我們瞭解如何區分日常話語和數學話語。有許多真實數學話語練習。作為分析家和教師不應該混淆”數學”的定義和”教科書”的定義。我們應該澄清談論數學方法和談數學正宗方法的差異。我們應該記住數學話語的練習是多樣化的。

註解

支持這項工作的部分津貼由國家科學基金會支出。

「怎樣才算是數學對話？」讀後心得感想

    長久以來接受教育的方式總是等著老師給東西，給什麼就吃什麼，有時候即使是難以消化，也是把它硬吞下去，硬吞不下去也是自己看著辦。現在身為教職的一份子，常常會犯下以前老師常犯的毛病，因為我們都是這樣長大的。當然這是個不必用心於教學的一個好藉口。

    還記得剛從行政下低年級去教書時，依稀記得當時教日曆單元，說了老半天，學生依然聽不懂，測驗後證明我教導失敗，我總是用大人的話語在說明，小朋友很難理解。於是我再次思考如何讓這群小朋友理解。當然教科書的選定也是很重要的，當時我們選用的版本是牛頓的，當時此版本的教材較難。而時間對低年級的小朋友而言又相當的抽象，對當時未曾教過低年級的我，確實也是一個挑戰。

    在文章當中提到有關梯形的定義，學生的觀念認為梯形是一雙對邊平行的四邊形，是半個平行四邊形，就是平行四邊形。雖然說學生的對話可以幫助學生增強對數學的概念，但數學定義的正確性是要要求的。平行四邊形一定要兩雙對邊平行才稱為平行四邊形。教師應在最後加以澄清，幫助學生建立正確的數學概念。

    現在的學生可不比以前，小朋友在上課時很容易分心，目前的數學課程較以前的簡單，現在的小朋友又很聰明，若用以往的講述法學生很容易就一副懶洋洋的樣子，所以我會在課堂上設計一些遊戲和活動，增加彼此的互動。要低年級用言語表達自己的想法有一些困難度。在課本中的佈題都很簡單，學生會寫出來怎麼算，要請低年級學生說明，因為很簡單也沒什麼好說的。目前正在努力讓學生試著表達自己所理解到的數學知識，讓學生能以自己的話語說明自己的想法。運用小朋友所說的話語進行溝通，彼此交流不同的想法。希望以學生帶領學生的方式讓學生的學習能向上提升。

    如何讓學生對學數學有感覺？讓自己不是寫數學考卷的機器人，身為教師得想辦法讓學生喜歡數學，設計活動讓學生參與，增加數學話語的使用量。設計這些活動讓這些小朋友玩樂的同時，希望在玩樂當中建立一些數學概念。但活動進行通常會花費較長的時間，遊戲結束後也不知學生的學習成效如何？時間花的比較長，可能只建立一個小小的數學概念，到底值不值得呢？看到學生喜歡完遊戲的樣子，應該是值得的吧！這也是在低年級教學的好處，沒有太大的課業壓力。

目前我們都是以筆試方式來評量學生的學習狀況，老師也是有教學的壓力。不可否認，家長很難從學生的生活中看見學生的學習狀況。考卷上的分數是最快的方式。學生以寫考卷是可以達到精熟程度。但卻也抹煞了學生的學習興緻。有些老師不斷的考考考，真的把學生都烤焦了。別讓學生成為只會寫考卷的機器人，必竟分數不代表什麼，就算可以考一百分也不代表他的觀念是正確的。