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第三個實驗

在幾何反射的衝突討論

這個研究有關反射的轉換；在教導產生變數的不同集合，和產生例子的不同方法。

    考慮問題的範圍­—觀察大部分的迷失概念—圖八說明，教學順序最後工作表的部分。我們的目標是建構線的平面反射和確定線反射對稱的平面圖形。1978年Schultz，1981年Kuchemann，和1985年Grenier以前研究相關變數。

1、鏡子的方向(水平，垂直，45度，其它)。

2、複雜圖形的反射。

3、網格的呈現。

4、圖形的大小和鏡面的距離

    前三個是由Kuchemann納入建構序列的問題。他確認回答的對應階層是總體性的，半分析，分析，和分析--綜合。總體性的回答物件是整體反設考慮無參考特別的部分、角度和距離。在半分析的回答，物件的部分—通常最終—是反設出最初及其餘畫出的形狀及大小與原圖形吻合。全分析的回答，物件被歸納各別各點反射的集合。

此連結和結果是可接受的，甚至有時圖像看起來似乎是錯誤。在分析-綜合的回答中，分析和總體性的回答是統籌的如此最終的圖像是精準的且也看起來正確。

    此研究包含對十一及十二歲混齡中學班級的面談和一個教學經驗試驗，同年齡同級不同兩班比較教學研究。我們報告在面談中發現主要錯誤想法，設計教學教材—在下列測試工作中沒有特別改變—最後，我們應比較教學結果。

      第一種錯誤的看法，認定水平的物件必然有水平的圖像，垂直的物件必然有水平的圖像，或水平物件中有垂直的圖像，反之亦然。這些現象可以在圖8的問題2、4、5中看出。在點測驗中，大約百分之四十的樣品中，出現的錯誤相對應一個或多個這些誤解。接下來的誤解，包括關聯反映各種互相對立，小學生易產生的錯誤想法，如:前、後、遠、近，左 、 右、上和下。例如，一個學生產生反應有點像在圖8項目2號說：“這個是在左上 ，他必需指出右下“。

     這種口頭上的描述物件和圖像之間的關係，最初可能從正確觀察，縱然如此，轉移到其他情況不適用。術語”穿過”在某些情況下解釋部分樣本的方式，依賴於大自然的物件和/或運用畫格子的方式/或鏡子的傾斜線以類似的方式來解釋這些相互對映的現象。如此的關係可能會用在圖8項目4，如圖9所示在這樣的情況下也存在此關係。

在一個約有百分之14的學生採訪中，這些意外的錯誤想法顯露出次數多於正確的，這些都反映了學生以看見鏡子的形象去推測，而不是用折疊的方式推測，他們往往展示鏡子物件如何移動--站在同一條線上--產生影象運動證明他們的結論。 在另一種狀況下 ，應運用鏡子原理去連接而不是折疊的想法去推測時，又為學生帶來另一種誤解。該圖像可能只是類似於原始的物件 ，並非全然的全等。（圖8，第5號）。過度概括的口頭發言，也被用來證明是錯誤的對稱線;例如:字母N或長方形，假如他們可被分成兩個相等的部分 ，他們可以顛倒或翻轉證明兩部份相等，此稱為對稱性。學生說，例如， “每邊皆相等”。另一個困難出現，當一個相當複雜的圖形，如果某些細節被忽略了可能有對稱性。看來重要的是 ， 這種類型的例子應該給予學生，並鼓勵學生判斷，可討論是否要考慮各種細節來選擇是否對稱（圖9）。

實驗教學分兩組各佔有十小時的課程。在診斷方法，模式為每堂課學生分四組討論的問題 ， 給工作表 ， 並於商議結論。根據此方式，班級討論的結論是經由各組所提供、捍衛和爭論的中得到解決。從第1，3，5，和10堂課中摘錄工作表，並呈現於圖10,11和8 。工作表及行為模式根據引導的工作加以修改。這些如下：

1.某些簡易任務被遺漏（在圖10標記O）。大多數的學生都能正確回答，當他們做得相當不錯，他們會留下印象，即使實際上他們在較困難的問題上，擁有嚴重誤解導致錯誤的，也沒有改變他們的策略。

2.On the worksheet following Figure 11 (which asked the pupils to write an explanation of why their choice in Figure 11 was correct) some groups responded with rather weak explanations. 在工作表如下圖11（其中要求學生寫一篇解釋，為什麼他們的選擇是正確的？ 如圖11）某些群體回應 ， 比較薄弱的解釋。 在修正課程中，老師會扮演惡魔的辯護者，干涉並誘導學生產生更另人信服的言論

3.剛開使教學時，許多的時間是花費在積極討論犯錯的方面，解釋聆聽技巧的重要性，以及必須相互尊重他人的意見。

另一種教學方法是利用兩個小冊子來思考（從11-16中的SMP）。在頭兩年，使用這些都是在學校個人學習計劃的一部分。根據個人問題練習，透過例子解釋使教學方法具體化。第一小冊子集中在反思鏡像，第二小冊子折疊。冊子內的問題變得越來越複雜，但不要求學生制定自己的方法 ， 沒有高層次的思想或查詢等形勢的要求。與此相反 ， 診斷方法，其中的目的是帶領學生通過討論困難的問題，仔細明確的認識並說明反映現象的一般屬性。小冊子受到歡迎和享受。在這個組中，教師完全掌控了小冊子的管理問題，管理審查和檢查測試，並回答學生的個別有關對於的資料的問題。舉例說 ，在圖12提出的資料。

結果

在教學前先行說明，兩組在教學前、教學後及十個星期後進行23項各項目種類的混合題測驗。

在圖圖13顯示了兩組每個學生的表現。保留的實驗方法以及對長期小冊子的不當教學，實驗方式的優勢是非常明顯。（對於一個完整的報告，見伯克斯，1987。）

小冊子及對話教學組在教學前、後及後十週測量小學生學習狀況的曲線圖

啟示

運用的小冊子教學類型，本實驗方法是目前非常普遍。以“有指導的發現”為其特徵。最初的解釋呈現學生如何處理問題和多方具體原則被稱為玩。通常有兩個因素會消失：（1）回饋和（b）察覺。錯誤觀念的形成，一般是不會發現，直到過了一些時日之後，透過老師或要求回答時，在那個階段，有百分之六十到七十的正確還是令人滿意的。因此誤解透過執行所產生的問題，得不到治療;實際上，誤解是透過使用的行為而被強化。

這些教料還忽略了重要的決策--正確原則以及它們透過明確討論證實多樣的內容。其他研究（Mayer和格里諾，1972）表明，什麼是學習某些教材真正強烈影響的原因是學習者的態度，這取決於學習者對學習用途的期望，例如，是否有事實回憶將被測試或測試需要理解的教材或將它運用於新的情況。在當前許多課堂環境，期望未來的測試是最小的，在某些情況下，根本不存在，以及學生的態度是完成作業並實現成功升級。這樣的區分做和學習 ， 往往不是由學生，有時也不能由教師決定，成功演出受到獎勵比建置新的知識或技能 、消除錯誤觀念影響更多。 (學生的成就感是學生學習的動力)

學生察覺他們在形狀的學習過程，後設認知建議在目前是一個重要研究和發展的領域。計劃在1990年至1992年，我們正在研究探討不同的數學課堂環境學生的學習數字概念，發展的辦法旨在改善小學生自己學習的意識，實施這些研究的影響。